Question

动点P到点F（1，0）和直线x=-1的距离相等，直线l：kx-y-1=0与点P的轨迹C交于A，B两点
（1）求 P点的轨迹C的方程；
（2）当k变化时，求

OA

•

OB

最小值．

Answer 1

考点：轨迹方程,平面向量数量积的运算

专题：向量与圆锥曲线

分析：（1）设出P点坐标，由题意列等式，化简后得答案；
（2）联立直线方程和抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到A，B两点的横纵坐标的积，由判别式大于0求得k的范围，然后利用配方法求得

OA

•

OB

的范围．

解答： 解：（1）设动点P的坐标为（x，y），依题意，得|PF|=|x+1|，
即

(x-1)2+y2

=|x+1|，
化简得：y²=4x，
∴曲线C₁的方程为y²=4x；
（2）联立

kx-y-1=0 y2=4x

，得k²x²-（2k+4）x+1=0．
由△=（2k+4）²-4k²=16k+16＞0，得k＞-1．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=

2k+4

k2

，x1x2=

1

k2

，
y₁y₂=（kx₁-1）（kx₂-1）=k²x₁x₂-k（x₁+x₂）+1
=k2•

1

k2

-k•

2k+4

k2

+1=1-

2k+4

k

+1=-

4

k

．
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=

1

k2

-

4

k

=(

1

k

-2)2-4．
∵k＞-1，∴

1

k

＜-1，
∴

OA

•

OB

=(

1

k

-2)2-4＞5．
即

OA

•

OB

的范围是（5，+∞）．

点评：本题考查了轨迹方程的求法，考查了直线和抛物线的关系，训练了平面向量数量积的应用，考查了利用配方法求函数的最值，是中档题．