【题目】已知函数,其中a,.
当时,若在处取得极小值,求a的值;
当时.
若函数在区间上单调递增,求b的取值范围;
若存在实数,使得,求b的取值范围.
【答案】(1)-2;(2)①;②.
【解析】
(1)代入b的值,求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的极值点,从而求出a的值即可;
(2)代入a的值,①求出函数的导数,通过讨论b的范围求出函数的单调区间,从而确定b的范围即可;
②通过讨论b的范围,求出函数的导数,结合函数的单调性确定b的范围即可.
(1)当时,因为,所以.
因为在处取得极小值,所以,解得:.
此时,,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增.
所以在处取得极小值.
所以符合题意.
(2)当时,因为,
所以.
令.
①因为在上单调递增,所以在上恒成立,
即在上恒成立.
当时,则,满足题意.
当时,因为的对称轴为,
所以,解得或.
综上,实数的取值范围为.
②当时,,与题意不符.
当时,取,则.
令,则,
当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
所以,即.
所以,
所以符合题意.
当时,
因为在递增且
所以在上恒成立,所以在上单调递增,
所以恒成立,与题意不符.
当时,
因为,,
由零点存在性原理可知,存在,使得,
所以当时,,单调递减,
取,则,符合题意.
综上可知,实数的取值范围为.
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【题目】已知函数f(x)=excos x-x.
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.
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【题目】已知集合,其中, , . 表示中所有不同值的个数.
()设集合, ,分别求和.
()若集合,求证: .
()是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.
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【题目】,为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形的直角边所在直线与,都垂直,斜边以直线为旋转轴旋转,有下列结论:
(1)当直线与成角时,与成角;
(2)当直线与成角时,与成角;
(3)直线与所成角的最小值为;
(4)直线与所成角的最小值为;
其中正确的是______(填写所有正确结论的编号).
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【题目】某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况,抽取甲、乙两班,调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间(单位:小时),统计结果绘成频率分别直方图(如图).已知甲、乙两班学生人数相同,甲班学生每天平均学习时间在区间的有8人.
(I)求直方图中的值及甲班学生每天平均学习时间在区间的人数;
(II)从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试,设4人中甲班学生的人数为,求的分布列和数学期望.
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【题目】如图,F1、F2是椭圆C1:+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是___.
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