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    【题目】已知椭圆离心率为，点P(0,1)在短轴CD上，且.

    （I）求椭圆E的方程；

    （II）过点P的直线l与椭圆E交于A,B两点.若，求直线l的方程.

    【答案】（1）.

    （2）y=x+1.

    【解析】

    （1）通过椭圆的离心率和向量的数量积的坐标表示，计算即得，，进而得结论；（2）设直线l为，代入椭圆方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，解方程可求斜率k，进而得到所求直线方程。

    （1）由题意，e=，得a=

    又C(0,b)，D(0,-b). ∴=(b-1)(-b-1)=-1， ∴b2=2

    ∴a=2, 所以椭圆E的方程为.

    （2）当直线l的斜率不存在时， ，，，

    不符合题意，不存在这样的直线.

    当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+1. A(x1,y1) , B(x2,y2).

    联立方程，整理得(1+2k2)x2+4kx-2=0,

    由韦达定理得x1+x2=，x1x2=，

    由得，(x2,y2-1)= (-x1,1-y1), ∴x2=-x1,

    ∴x1 =，x12 =， 解得k2=， ∴k=，

    所以直线l的方程为y=x+1.

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    【题目】某地区农产品近几年的产量统计如下表：

    为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，得到下表:

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    （1）若函数为函数,求出的值；

    （2）设,其中为自然对数的底数,函数.

    ①比较与的大小；

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    （I）平面PAD与平面PAB是否垂直？并说明理由；

    （II）求平面PCD与平面ABCD所成二面角的余弦值．

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    【题目】

    在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标(，)，直线l的极坐标方程为ρcos(θ－)＝a，．

    （1）若点A在直线l上，求直线l的直角坐标方程；

    （2）圆C的参数方程为(为参数)，若直线与圆C相交的弦长为，求的值。

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    【题目】已知函数f(x)＝|x－1|.

    (I) 解不等式f(2x)＋f(x＋4)≥8；

    (II) 若|a|＜1，|b|＜1，a≠0，求证： ＞.

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    【题目】近年来，随着我国汽车消费水平的提高，二手车流通行业得到迅猛发展．某汽车交易市场对2017年成交的二手车交易前的使用时间（以下简称“使用时间”）进行统计，得到频率分布直方图如图1．

    图1 图2

    （1）记“在年成交的二手车中随机选取一辆，该车的使用年限在”为事件，试估计的概率；

    （2）根据该汽车交易市场的历史资料，得到散点图如图2，其中(单位：年)表示二手车的使用时间，(单位：万元)表示相应的二手车的平均交易价格．由散点图看出，可采用作为二手车平均交易价格关于其使用年限的回归方程，相关数据如下表（表中，）：

    5.5

    8.7

    1.9

    301.4

    79.75

    385

    ①根据回归方程类型及表中数据，建立关于的回归方程；

    ②该汽车交易市场对使用8年以内(含8年)的二手车收取成交价格的佣金，对使用时间8年以上(不含8年)的二手车收取成交价格的佣金．在图1对使用时间的分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值．若以2017年的数据作为决策依据，计算该汽车交易市场对成交的每辆车收取的平均佣金．

    附注：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为；

    ②参考数据：．

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    【题目】已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足下列条件：①f（x）不恒为0；②对任意的正实数x和任意的实数y都有f（xy）=yf（x）．

    （1）求证：方程f（x）=0有且仅有一个实数根；

    （2）设a为大于1的常数，且f（a）＞0，试判断f（x）的单调性，并予以证明；

    （3）若a＞b＞c＞1，且，求证：f（a）f（c）＜[f（b）]2．

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    求证：；

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