Question

【题目】已知函数f(x)＝|x－1|.

(I) 解不等式f(2x)＋f(x＋4)≥8；

(II) 若|a|＜1，|b|＜1，a≠0，求证： ＞.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)

(II)证明见解析

【解析】

（１）根据的分段函数形式，分类讨论求得不等式f(2x)＋f(x＋4)≥8的解集；（2）要证的不等式即，根据|a|＜1，|b|＜1，可得，从而得到所证的不等式成立。

(Ⅰ)f(2x)＋f(x＋4)＝|2x－1|＋|x＋3|＝

当x＜－3时，由－3x－2≥8，解得x≤ ；

当－3≤x＜ 时，－x＋4≥8无解；

当x≥时，由3x＋2≥8，解得x≥2.

所以不等式f(2x)＋f(x＋4)≥8的解集为

(II)证明：＞等价于f(ab)＞|a|，即|ab－1|＞|a－b|.

因为|a|＜1，|b|＜1，

所以|ab－1|2－|a－b|2＝(a2b2－2ab＋1)－(a2－2ab＋b2)＝(a2－1)(b2－1)＞0，

所以|ab－1|＞|a－b|.故所证不等式成立．