Question

【题目】已知椭圆中心在原点，焦点在轴上，且其焦点和短轴端点都在圆上.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）点是圆上一点，过点作圆的切线交椭圆于，两点，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）2

【解析】

（1）由题意设出椭圆的标准方程，由于椭圆焦点和短轴端点都在圆:上，可得到，的值，即可求出椭圆方程。

（2）分类讨论切线方程斜率存在与不存在的情况，当斜率不存在时，可直接确定的值，再讨论斜率存在时，设出直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出，再结合直线与圆相切性质消去一个参数，利用函数的单调性确定的范围，最后得到的最大值。

（1）由椭圆的中心在原点，焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为 ，

椭圆的右焦点坐标为，上顶点坐标为

椭圆焦点和短轴端点都在圆:上，

，，解得：，，

，即，

椭圆的标准方程为

（2）当切线的斜率不存在时，切线方程为：，与椭圆的两个交点为 或，则，

当切线的斜率存在时，设切线方程为：，切线与椭圆交点的坐标分别为，，

联立方程 ，得：，

由于切线与椭圆相交于两点，则 ，

由韦达定理可得: ，

又直线与圆相切，

，即，

令 ，则函数单调递增，当，

，

综上所述，