Question

设f（x）是定义在R上的函数，若f（0）=2012，且对于任意的x∈R满足f（x+2）-f （x）≤3•2^x，f （x+6）-f（x）≥63•2^x，则f （2012）等于

1. A.
   2²⁰⁰⁹+2008
2. B.
   2²⁰¹⁰+2009
3. C.
   2²⁰¹¹+2010
4. D.
   2²⁰¹²+2011

Answer 1

D
分析：令f（x+2）-f（x）≤3×2^x （1），f（x+6）-f（x）≥63×2^x （2），（1）-（2）可得f（x+2）-f（x+6）≤-60×2^x （3），再由（1）可得f（x+2）-f（x+6）≥-60×2^x （7），由（3）和（7）得到，f（x+2）-f（x+6）=-60×2^x（8），再对（1）变形联立（2）可得f（x+6）=f（x）+63×2^x，与（8）联立得 f（x+2）-f（x）=3×2^x，利用累加法及等比数列求和即可求得f（2012）．
解答：f（x+2）-f（x）≤3×2^x （1），f（x+6）-f（x）≥63×2^x （2），
由 （1）-（2）得到，f（x+2）-f（x+6）≤3×2^x-63×2^x=-60×2^x，
所以，f（x+2）-f（x+6）≤-60×2^x （3），
由（1）得，f（x+6）-f（x+4）≤3×2^x+4=48×2^x （5），
f（x+4）-f（x+2）≤3×2^x+2=12×2^x （6），
由（5）+（6）得到，f（x+6）-f（x+2）≤60×2^x，即f（x+2）-f（x+6）≥-60×2^x （7），
由（3）和（7）得到，f（x+2）-f（x+6）=-60×2^x（8），
由（1）得，f（x+6）≤f（x+4）+3×2^x+4≤f（x+2）+3×2^x+2+3×2^x+4≤f（x）+3×2^x+3×2^x+2+2^x+4=f（x）+63×2^x，
又由（2）知，f（x+6）=f（x）+63×2^x，与（8）联立得 f（x+2）-f（x）=3×2^x，
所以f（x+2）=f（x）+3•2^x，
所以 f（2012）=f（2010）+3×2²⁰¹⁰，
f（2010）=f（2008）+3×2²⁰⁰⁸，…
f（2）=f（0）+3×2⁰，
等式两边同时相加得到f（2012）=f（0）+3×2²⁰¹⁰+3×2²⁰⁰⁸+…+3×2⁰=2012+3×（2²⁰¹⁰+2²⁰⁰⁸+…+2⁰），
等比数列求和得f（2012）=2012+3×=2012+2²⁰¹²-1=2011+2²⁰¹²．
故选D
点评：本题考查不等式、等比数列求和等知识，考查学生分析解决问题的能力，本题综合性强，难度大，对能力要求高．