Question

证明3²ⁿ⁺²-8n-9能被64整除（n∈N₊）．

Answer 1

分析：3²ⁿ⁺²=9ⁿ⁺¹=（8+1）ⁿ⁺¹展开式中按照8的降幂排列，前边的项均能被64整除，最后两项为C_n+1¹8+1=8n+9，与原式中的-8n-9抵消，分析可得答案．

解答：证明：3²ⁿ⁺²-8n-9=9ⁿ⁺¹-8n-9=（8+1）ⁿ⁺¹-8n-9
=8ⁿ⁺¹+C_n+1¹•8ⁿ++C_n+1ⁿ•8+1-8n-9
=8ⁿ⁺¹+C_n+1¹•8ⁿ++C_n+1^n-1•8²
=8²（8^n-1+C_n+1¹•8^n-2++C_n+1^n-1）
∵8^n-1+C_n+1¹•8^n-2++C_n+1^n-1是整数，
∴3²ⁿ⁺²-8n-9能被64整除．

点评：本题考查二项式定理的应用：处理整除问题，属基本题型的考查．