Question

设数列{a_n}的前n项和为Sn，且S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹数列{b_n}满足bn=log₂，其中n∈N^*．
（I）求数列{a_n}通项公式；
（II）求使不等式（1+）•（1+）…（1+）≥m•对任意正整数n都成立的最大实数m的值；
（III）当n∈N^*时，求证．

Answer 1

（Ⅰ）解：由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，得S_n-1=2a_n-1-2ⁿ（n≥2）．
两式相减，得a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ，即a_n-2a_n-1=2ⁿ（n≥2）．
于是-=1，所以数列{}是公差为1的等差数列．
又S₁=a₁=2a₁-2²，所以a₁=4．
所以=2+（n-1）=n+1，故a_n=（n+1）•2ⁿ
（II）∵b_n=log₂=log₂2ⁿ=n
∴（1+）•（1+）…（1+）≥m•即为（1+1）•（1+）…（1+）≥m•
∴m≤对任意正整数n都成立
令f（n）=，则f（n+1）=
∴=＞1
∴f（n）单调递增，故f（n）≥f（1）=
∴m≤
∴m的最大值为；
（III）证明：欲证
只要证
∵=
∴=[（）+（）]=
∴．
分析：（Ⅰ）根据数列递推式，确定数列是数列{}是公差为1的等差数列，将a₁=4代入便可求出数列{a_n}的通项公式；
（II）问题可转化为m≤对任意正整数n都成立，求出右边函数的最大值，即可求得m的最大值；
（III）欲证，只要证，利用=，即可证得结论．
点评：本题数列递推式，考查数列的通项，考查恒成立问题，考查不等式的证明，正确分离参数是关键．