Question

2．已知x＞0，y＞0且2x+y=2，则$\frac{1}{x^2}+\frac{4}{y^2}$的最小值为8．

Answer 1

分析 由已知的等式求出$\frac{1}{xy}$的最小值，进一步利用基本不等式求得$\frac{1}{x^2}+\frac{4}{y^2}$的最小值．

解答 解：∵x＞0，y＞0且2x+y=2，
∴$2=2x+y≥2\sqrt{2xy}$，得$xy≤\frac{1}{2}$，$\frac{1}{xy}≥2$（当且仅当2x=y时取“=”），
∴$\frac{1}{x^2}+\frac{4}{y^2}$$≥2\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}•\frac{4}{{y}^{2}}}=4•\frac{1}{xy}≥8$（当且仅当2x=y时取“=”），
故答案为：8．

点评 本题考查了利用基本不等式求最值，关键是注意不等式中等号成立的条件，是基础题．