Question

12．已知|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=8．
（1）求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ；
（2）求|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|．

Answer 1

分析 （1）将已知等式展开，利用向量的数量积公式以及模的平方等于向量的平方求夹角；
（2）要求向量的模，根据向量的平方等于模的平方，先求平方再开方求值．

解答 解：（1）因为|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=8．
所以2$\overrightarrow{a}$²-$\overrightarrow{b}$²-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=8．
所以8-1-2cosθ=8，
解得cosθ=-$\frac{1}{2}$，
所以$θ=\frac{2π}{3}$；
（2）由（1）得到$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-1，
|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|²=4$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{b}$²-4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=16+1-4（-1）=21，所以|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{21}$．

点评 本题考查了向量的运算以及求向量的模的方法；根据向量的平方等于向量模的平方，要求向量的模，一般的先求其平方，再开方求模．