Question

17．已知数列{a_n}中，a₄=$\frac{1}{8}$，a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{2{a}_{n-1}+1}$（n≥2）．
（1）证明：$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+2（n≥2），并求出a₁的值．
（2）求数列{a_n}的通项a_n．

Answer 1

分析 （1）通过对a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{2{a}_{n-1}+1}$（n≥2）取倒数可得$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+2（n≥2），利用$\frac{1}{{a}_{4}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$+3•2及a₄=$\frac{1}{8}$，即得a₁=$\frac{1}{2}$；
（2）通过由（1）得数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}为首项、公差均为2的等差数列，进而可得结论．

解答 （1）证明：∵a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{2{a}_{n-1}+1}$（n≥2），
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2{a}_{n-1}+1}{{a}_{n-1}}$=2+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+2（n≥2），
∴$\frac{1}{{a}_{4}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$+3•2，
又∵a₄=$\frac{1}{8}$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{\frac{1}{8}}$-6=2，
∴a₁=$\frac{1}{2}$；
（2）解：由（1）可得$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=2（n≥2），$\frac{1}{{a}_{1}}$=2，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=2+2（n-1）=2n，
∴a_n=$\frac{1}{2n}$．

点评 本题考查数列的通项及判断数列为等差数列，对表达式两端取倒数是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．