Question

14．若矩阵M=$[\begin{array}{l}{a}&{2}\\{c}&{1}\end{array}]$属于特征值3的一个特征向量为$\overrightarrow{α}$=$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$，求矩阵M的逆矩阵M^-1．

Answer 1

分析 利用$[\begin{array}{l}a，2\\ c，1\end{array}][\begin{array}{l}1\\ 1\end{array}]=3[\begin{array}{l}1\\ 1\end{array}]$，可得${M}=[\begin{array}{l}1，2\\ 2，1\end{array}]$．通过MM^-1=$[\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{array}]$，计算即可．

解答 解：由题意，得$[\begin{array}{l}a，2\\ c，1\end{array}][\begin{array}{l}1\\ 1\end{array}]=3[\begin{array}{l}1\\ 1\end{array}]$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=2}\end{array}\right.$，所以${M}=[\begin{array}{l}1，2\\ 2，1\end{array}]$．
设${{M}^{-1}}=[\begin{array}{l}x，y\\ z，w\end{array}]$，则${M}{{M}^{-1}}=[\begin{array}{l}1，2\\ 2，1\end{array}][\begin{array}{l}x，y\\ z，w\end{array}]=[\begin{array}{l}1，0\\ 0，1\end{array}]$，
解得$x=-\frac{1}{3}，y=\frac{2}{3}，z=\frac{2}{3}，w=-\frac{1}{3}$，
∴${{M}^{-1}}=[\begin{array}{l}-\frac{1}{3}，\frac{2}{3}\\ \frac{2}{3}，-\frac{1}{3}\end{array}]$．

点评 本题考查求矩阵及其逆矩阵，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．