Question

19．已知直角坐标系xOy和极坐标系Ox的原点与极点重合，x轴正半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数）．
（1）在极坐标系下，若曲线与射线θ=$\frac{π}{4}$和射线θ=-$\frac{π}{4}$分别交于A，B两点，求△AOB的面积；
（2）在直角坐标系下，给出直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），求曲线C与直线l的交点坐标．

Answer 1

分析 （1）通过令cos²φ+sin²φ=1，得曲线C在直角坐标系下的普通方程，再将其化为极坐标方程，分别代入θ=$\frac{π}{4}$和θ=-$\frac{π}{4}$，得|OA|²=|OB|²=$\frac{8}{5}$，利用三角形面积公式即得结论；
（2）将l的参数方程代入曲线C的普通方程，再将t的值代入l的参数方程，即得结论．

解答 解：（1）∵曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），
∴cos²φ+sin²φ=（$\frac{x}{2}$）²+y²=1，
∴曲线C在直角坐标系下的普通方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，
将其化为极坐标方程为$\frac{{{ρ^2}co{s^2}θ}}{4}+{ρ^2}si{n^2}θ=1$，
分别代入θ=$\frac{π}{4}$和θ=-$\frac{π}{4}$，得|OA|²=|OB|²=$\frac{8}{5}$，
∵∠AOB=$\frac{π}{2}$，∴△AOB的面积S=$\frac{1}{2}$|OA||OB|=$\frac{4}{5}$；
（2）将l的参数方程代入曲线C的普通方程，
得$\frac{4+2\sqrt{2}t+\frac{1}{2}{t}^{2}}{4}$+$\frac{1}{2}$t²=1，即$\frac{5}{8}$t²+$\frac{\sqrt{2}}{2}$t=0，
解得t=0或t=-$\frac{4\sqrt{2}}{5}$，
代入l的参数方程，得x=2，y=0，或$x=\frac{6}{5}，y=-\frac{4}{5}$，
所以曲线C与直线l的交点坐标为（2，0）或 $（{\frac{6}{5}，-\frac{4}{5}}）$．

点评 本题考查坐标系与参数方程，对参数方程与极坐标方程之间的灵活转化是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．