Question

5．如图，四棱锥S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，CD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$BC，若CD=1，SD=$\sqrt{7}$，且SA=SB=2．
（1）证明：CD⊥SD；
（2）求二面角B-SC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AB中点O，并连接DO，根据已知条件容易说明OB，OD，OS三直线两两垂直，从而可分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，从而求出向量$\overrightarrow{CD}，\overrightarrow{SD}$的坐标，计算$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{SD}=0$即可；
（2）设平面BSC的法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，根据$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{BS}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{BC}=0}\end{array}\right.$即可求出法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$，同样的办法可求出平面DSC的法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}=（{x}_{2}，{y}_{2}，{z}_{2}）$，设二面角B-SC-D的大小为θ，则由cos$θ=-cos＜\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}＞$即可求得答案．

解答 解：（1）证明：取AB中点为O，连接OD，则OD=2；
根据已知条件，△SAB为等边三角形且边长为2，∴OS=$\sqrt{3}$，又SD=$\sqrt{7}$；
∴OD²+OS²=SD²；
∴OS⊥OD，OS⊥AB，AB∩OD=O；
∴OS⊥底面ABCD；
∴OB，OD，OS三直线两两垂直，所以分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：
B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），S（0，0，$\sqrt{3}$）；
∴$\overrightarrow{CD}=（-1，0，0）$，$\overrightarrow{SD}=（0，2，-\sqrt{3}）$；
∴$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{SD}=0$；
∴$\overrightarrow{CD}⊥\overrightarrow{SD}$；
∴CD⊥SD；
（2）设平面BSC的法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，则$\overrightarrow{{n}_{1}}⊥\overrightarrow{BS}，\overrightarrow{{n}_{1}}⊥\overrightarrow{BC}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{BS}=-{x}_{1}+\sqrt{3}{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{BC}=2{y}_{1}=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\sqrt{3}{z}_{1}}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，取z₁=1，则$\overrightarrow{{n}_{1}}=（\sqrt{3}，0，1）$；
同样可求得平面DSC的法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}=（0，\frac{\sqrt{3}}{2}，1）$；
设二面角B-SC-D的大小为θ，则cosθ=$-cos＜\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}＞$=$-\frac{1}{2•\frac{\sqrt{7}}{2}}=-\frac{\sqrt{7}}{7}$；
∴二面角B-SC-D的余弦值为$-\frac{\sqrt{7}}{7}$．

点评 考查直角三角形边的关系，线面垂直的判定定理，以及通过建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线线垂直、求二面角的方法，两非零向量垂直的充要条件，平面法向量的概念及求法，二面角平面角大小和两平面法向量夹角的关系，向量夹角余弦的坐标公式．