Question

13．如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四边形ABCD是直角梯形，∠DAB=90°，AA₁=AB=BC=2，AD=1．
（1）证明：在平面BB₁C上，一定存在过点C的直线l与直线A₁D平行．
（2）求二面角A₁-CD-A的余弦值．

Answer 1

分析 （1）建立坐标系，利用向量法结合线面平行的判定定理进行判断即可．
（2）求平面的法向量，利用向量法即可求二面角A₁-CD-A的余弦值．

解答 证明：（1）∵，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四边形ABCD是直角梯形，∠DAB=90°，
∴以A为坐标原点，以AD，AB，AA₁分别为x，y，z轴建立空间坐标系如图：
∵AA₁=AB=BC=2，AD=1．
∴A（0，0，0），D（1，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），
A₁（0，0，2），
则$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（1，0，-2），$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=（0，0，1），$\overrightarrow{CB}$=（-2，0，0），
∵$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{C{C}_{1}}$-2$\overrightarrow{CB}$，
∴$\overrightarrow{{A}_{1}D}$∥平面BB₁C，
即在平面BB₁C上，一定存在过点C的直线l与直线A₁D平行．
（2）设平面A₁CD的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（1，0，-2），$\overrightarrow{DC}$=（1，2，0），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}D}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DC}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x-2z=0}\\{x+2y=0}\end{array}\right.$，
令x=2，则z=1，y=-1，即$\overrightarrow{m}$=（2，-1，1），
平面ACD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{1×\sqrt{4+1+1}}=\frac{1}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
即二面角A₁-CD-A的余弦值是$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题主要考查空间线面平行的判定以及二面角的求解，建立空间坐标系，利用向量法是解决本题的关键．