Question

12．7¹¹+C${\;}_{11}^{1}$•7¹⁰+…+C${\;}_{11}^{10}$•7被9除以所得的余数为7．

Answer 1

分析 化简7¹¹+C${\;}_{11}^{1}$•7¹⁰+…+C${\;}_{11}^{10}$•7=（1+7）¹¹-1=（9-1）¹¹-1，
再按二项式展开，得出上述展开式被9整除后的余数是多少．

解答 解：∵7¹¹+C${\;}_{11}^{1}$•7¹⁰+…+C${\;}_{11}^{10}$•7=${C}_{11}^{0}$•7¹¹+C${\;}_{11}^{1}$•7¹⁰+…+C${\;}_{11}^{10}$•7+${C}_{11}^{11}$•7⁰-1
=（1+7）¹¹-1
=（9-1）¹¹-1
=${C}_{11}^{0}$•9¹¹•（-1）⁰+${C}_{11}^{1}$•9¹⁰•（-1）¹+…+${C}_{11}^{10}$•9•（-1）¹⁰+${C}_{11}^{11}$•9⁰•（-1）¹¹-1，
且上述展开式中只有最后两项不能被9整除，
即${C}_{11}^{11}$•9⁰•（-1）¹¹-1=-2＜0，
∴该展开式被9整除后所得的余数9-2=7．
故答案为：7．

点评 本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了数的整除和余数的应用问题，是基础题目．