Question

6．已知数列{a_n}为等比数列，a₁=1，且a₂，a₃+1，a₄成等差数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式a_n；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足：b_n=$\frac{a_n}{{（{a_n}+1）（{a_{n+1}}+1）}}$，设其前n项和为S_n，证明：S_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，通过a₁=1，a₂、a₃+1、a₄成等差数列，可得q=2，进而即得结论；
（Ⅱ）通过对b_n分离分母，利用并项法相加即得结论．

解答 （Ⅰ）解：设数列{a_n}的公比为q，
∵a₁=1，∴a₂=q，a₃=q²，a₄=q³，
又∵a₂，a₃+1，a₄成等差数列，
∴2（1+q²）=q+q³，
解得q=2，
∴a_n=2^n-1；
（Ⅱ）证明：∵b_n=$\frac{a_n}{{（{a_n}+1）（{a_{n+1}}+1）}}$
=$\frac{{2}^{n-1}}{（1+{2}^{n-1}）（1+{2}^{n}）}$
=$\frac{1}{1+{2}^{n-1}}$-$\frac{1}{1+{2}^{n}}$，
∴S_n=$\frac{1}{1+1}$-$\frac{1}{1+2}$+$\frac{1}{1+2}$-$\frac{1}{1+{2}^{2}}$+$\frac{1}{1+{2}^{2}}$-$\frac{1}{1+{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{1+{2}^{n-1}}$-$\frac{1}{1+{2}^{n}}$
=$\frac{1}{1+1}$-$\frac{1}{1+{2}^{n}}$
＜$\frac{1}{2}$，
即S_n＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查求数列的通项及求和，利用裂项相消法是解决本题的关键，属于中档题．