Question

14．如图，AE是⊙O直径，D是⊙O上一点，连结AD并延长使AD=DC，连结CE交⊙O于点B，连结AB．过点E的直线与AC的延长线交于点F，且∠F=∠CED．
（1）求证：EF是⊙O切线；
（2）若CD=CF=2，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）证明ED⊥AC．然后证明AE⊥EF．推出EF是⊙O切线．
（2）通过△ADE∽△AEF，求出AE．在Rt△ADE中，求出DE，然后在Rt△ABE中，求解BE．

解答 （本小题满分9分）
（1）证明：∵AE是⊙O直径，∴∠ADE=90°．∴ED⊥AC．
∵AD=DC，∴EA=EC．∴∠AED=∠CED，
∵∠F=∠CED，∴∠AED=∠F．而∠AED+∠EAD=90°，
∴∠F+∠EAD=90°．∴∠AEF=90°．∴AE⊥EF．∴EF是⊙O切线．-----------（4分）
（2）解：∵CD=CF=2，∴AD=CD=CF=2．
∵∠ADE=∠AEF，∠DAE=∠EAF，
∴△ADE∽△AEF．∴AE：AF=AD：AE，即AE：6=2：AE．
∴AE=2$\sqrt{3}$．∴CE=AE=2$\sqrt{3}$．在Rt△ADE中，DE=$\sqrt{{AE}^{2}-{AD}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-{2}^{2}}$=$2\sqrt{2}$．
∵AE是⊙O直径，∴∠ABE=90°．∴$\frac{1}{2}$CE•AB=$\frac{1}{2}$DE•AC，
∴AB=$\frac{2\sqrt{2}×4}{2\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{6}}{3}$．
在Rt△ABE中，BE=$\sqrt{{AE}^{2}-{AB}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．----------------------（9分）

点评 本题考查直线与圆的位置关系，相似三角形的判断与应用，三角形的解法，考查计算能力．