Question

5．已知A，B，P是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积k_PA•k_PB=$\frac{1}{4}$，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\frac{\sqrt{15}}{3}$

Answer 1

分析 设出点A，点P的坐标，求出斜率，将点A，P的坐标代入方程，两式相减，再结合k_PA•k_PB=$\frac{1}{4}$，即可求得离心率．

解答 解：由题意，设A（x₁，y₁），P（x₂，y₂），则B（-x₁，-y₁），
∴k_PA•k_PB=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$=$\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$，
∵$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
∴两式相减可得$\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
∵k_PA•k_PB=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，即为c²=$\frac{5}{4}$a²，
则e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故选A．

点评 本题考查双曲线的方程，主要考查双曲线的几何性质：离心率的求法，属于中档题．