Question

20．已知等差数列{a_n}的公差d≠0，它的前n项和为S_n，若S₅=70，且a₂，a₇，a₂₂成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）运用等差数列的通项和求和公式，结合等比数列的性质，解方程可得首项和公差，即可得到通项公式；
（2）求得前n项和S_n，由$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{2{n}^{2}+4n}$=$\frac{1}{2n（n+2）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），再由裂项相消求和，计算即可得到T_n．

解答 解：（1）因为数列{a_n}是等差数列，
所以a_n=a₁+（n-1）d，S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d．
依题意，有$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{5}=70}\\{{{a}_{7}}^{2}={a}_{2}{a}_{22}}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{5{a}_{1}+10d=70}\\{（{a}_{1}+6d）^{2}=（{a}_{1}+d）（{a}_{1}+21d）}\end{array}\right.$，
解得a₁=6，d=4，或a₁=14（舍去），d=0（舍去），
即有数列{a_n}的通项公式为a_n=4n+2（n∈N^*）；
（2）由（1）可得S_n=2n²+4n，$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{2{n}^{2}+4n}$=$\frac{1}{2n（n+2）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
则T_n=$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+$\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n-1}}$+$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{4}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{3}{8}$-$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$）．

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查等比数列的性质和数列的求和方法：裂项相消求和，属于中档题．