Question

10．对于定义域为D的函数y=f（x）和常数c，若对任意正实数ξ，?x∈D使得0＜|f（x）-c|＜ξ恒成立，则称函数y=f（x）为“敛c函数”．现给出如下函数：
①f（x）=x（x∈Z）
②$f（x）={（{\frac{1}{2}}）^x}+1（{x∈Z}）$
③f（x）=log₂x
④$f（x）=\frac{x-1}{x}$．其中为“敛1函数”的有（　　）

• A． ①②
• B． ③④
• C． ②③④
• D． ①②③

Answer 1

分析 由“敛C函数”的定义可知，当自变量x趋近于某个值或无穷大时，函数值y无限趋近于一个常数C，由此性质对四个函数逐一判断．

解答 解：对于函数①，取ξ=$\frac{1}{3}$，因为x∈Z，找不到x，使得0＜|x-1|＜$\frac{1}{3}$立，所以函数①不是“敛1函数”；
对于函数②，当x→+∞时，$（\frac{1}{2}）^{x}$→0，所以$（\frac{1}{2}）^{x}+1$→1，所以对任意的正数ξ，总能找到一个足够大的正整数x，使得0＜|f（x）-1|＜ξ成立，故函数②是“敛1函数”；
对于函数③，当x→2时，log₂x→log₂2=1，所以对于无论多大或多小的正数ξ，总会找到一个x，使得0＜|f（x）-1|＜ξ成立，故函数③是“敛1函数”；
对于函数④，函数式可化为y=1-$\frac{1}{x}$，所以当x→+∞时，$\frac{1}{x}$→0，即1-$\frac{1}{x}$→1，所以对于无论多小的正数ξ，总会找到一个足够大的正数x，使得0＜|f（x）-1|＜ξ成立，故故函数④是“敛1函数”．
故选：C．

点评 解决本题主要是对题目中新定义准确理解，解答本题中要注意已知基本函数图象的应用．