Question

15．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a=$\sqrt{3}$，b+c=3．
（Ⅰ）求cosA+2cos$\frac{B+C}{2}$的最大值；
（Ⅱ）在（I）的条件下，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用诱导公式和二倍角的余弦公式，及配方，结合二次函数的最值求法，即可得到；
（Ⅱ）由三角形的余弦定理和面积公式，结合条件计算即可得到面积．

解答 解：（Ⅰ）由A+B+C=π，可得$\frac{B+C}{2}$=$\frac{π}{2}$-$\frac{A}{2}$，
即有cos$\frac{B+C}{2}$=sin$\frac{A}{2}$，
则cosA+2cos$\frac{B+C}{2}$=1-2sin²$\frac{A}{2}$+2sin$\frac{A}{2}$=-2（sin$\frac{A}{2}$-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{2}$，
当sin$\frac{A}{2}$=$\frac{1}{2}$即A=$\frac{π}{3}$时，cosA+2cos$\frac{B+C}{2}$取得最大值，且为$\frac{3}{2}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得cosA=1-2sin²$\frac{A}{2}$=1-2×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$，
cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-2bc}{2bc}$=$\frac{（b+c）^{2}-2bc-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{9-2bc-3}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
即有bc=2，又sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查三角形的余弦定理和面积公式的运用，同时考查诱导公式和二倍角公式的运用，考查运算能力，属于中档题．