Question

20．设f′（x）为函数f（x）的导函数，已知x²f′（x）+xf（x）=lnx，f（1）=$\frac{1}{2}$，则下列结论正确的是（　　）

• A． xf（x）在（0，+∞）单调递增
• B． xf（x）在（1，+∞）单调递减
• C． xf（x）在（0，+∞）上有极大值$\frac{1}{2}$
• D． xf（x）在（0，+∞）上有极小值$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 根据条件，构造函数g（x）=xf（x），利用导数研究函数的单调性和极值，即可得到结论．

解答 解：由x²f′（x）+xf（x）=lnx得x＞0，
则xf′（x）+f（x）=$\frac{lnx}{x}$，
即[xf（x）]′=$\frac{lnx}{x}$，
设g（x）=xf（x），
即g′（x）=$\frac{lnx}{x}$＞0得x＞1，由g′（x）＜0得0＜x＜1，
即当x=1时，函数g（x）=xf（x）取得极小值g（1）=f（1）=$\frac{1}{2}$，
故选：D

点评 本题主要考查函数的导数的应用，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．