Question

10．设实数a，b满足lg（a-1）+lg（b-2）=lg2，则a+b的取值范围是（　　）

• A． （3，+∞）
• B． [3+2$\sqrt{2}$，+∞）
• C． （2，+∞）
• D． （2$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 由题意可得a-1＞0且b-2＞0，（a-1）（b-2）=2，由基本不等式，解关于a+b的不等式可得．

解答 解：∵lg（a-1）+lg（b-2）=lg2，
∴a-1＞0且b-2＞0，（a-1）（b-2）=2，
∴2=（a-1）（b-2）≤（$\frac{a-1+b-2}{2}$）²=$\frac{（a+b-3）^{2}}{4}$，
∴（a+b-3）²≥8，解得a+b-3≥2$\sqrt{2}$，或a+b-3≤-2$\sqrt{2}$（舍去），
∴a+b≥3+2$\sqrt{2}$，当期仅当（a-1）=（b-2）即a=b-1时取等号，
故选：B．

点评 本题考查对数的运算性质，涉及基本不等式的应用，属中档题．