Question

15．函数f（x）=sin（2ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期为π，且其图象向左平移$\frac{π}{12}$个单位得到的函数图象关于直线x=$\frac{π}{2}$对称，则f（$\frac{π}{2}$）=（　　）

• A． -$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． -$\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由周期求得ω，根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得所得函数为y=sin（2x+$\frac{π}{6}$+φ）关于直线x=$\frac{π}{2}$对称，求得φ的值，可得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），从而得解．

解答 解：∵函数f（x）=sin（2ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期为$\frac{2π}{2ω}$=π，
∴ω=1，f（x）=sin（2x+φ）．
把函数f（x）的图象图象向左平移$\frac{π}{12}$个单位后得到的图象对应函数的解析式为
y=sin[2（x+$\frac{π}{12}$）+φ]=sin（2x+$\frac{π}{6}$+φ），
由2x+$\frac{π}{6}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，可求函数的对称轴为：x=$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}-\frac{1}{2}$φ，k∈Z
再根据所得图象关于直线x=$\frac{π}{2}$对称，
∴$\frac{π}{2}$=$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}-\frac{1}{2}$φ，k∈Z，可解得：φ=k$π-\frac{2π}{3}$，k∈Z
结合，|φ|＜$\frac{π}{2}$，可得φ=$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
∴f（$\frac{π}{2}$）=sin（π$+\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故选：A．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．