Question

20．如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠BAD=90°，AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=1
（Ⅰ）求证：平面BCC₁⊥平面BDC₁；
（Ⅱ）在线段C₁D₁上是否存在一点P，使AP∥平面BDC₁．若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据面面垂直的判定定理即可证明平面BCC₁⊥平面BDC₁；
（Ⅱ）根据线面平行的判定定理进行证明即可得到结论．

解答 证明：（Ⅰ）因为AA₁⊥底面ABCD，所以CC₁⊥底面ABCD，
因为BD?底面ABCD，
所以CC₁⊥BD，…（2分）
因为底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠BAD=90°，
AB=AD=$\frac{1}{2}$CD，
因为AB=1，所以AD=1，CD=2
所以BD=$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{2}$，
所以在△BCD中，BD²+BC²=CD²，
所以∠CBD=90°，
所以BD⊥BC，…（4分）
又因为CC₁⊥BD，
所以BD⊥平面BCC₁，
因为BD?平面BDC₁，
所以平面BCC₁⊥平面BDC₁，…（6分）
（Ⅱ）存在点P是C₁D₁的中点，使AP∥平面BDC₁ …（8分）
证明如下：取线段C₁D₁的中点为点P，连结AP，
所以C₁D₁∥CD，且C₁P=$\frac{1}{2}CD$
因为AB∥CD，AB=$\frac{1}{2}$CD，
所以C₁P∥AB，且C₁P=AB
所以四边形ABC₁P是平行四边形．…（10分）
所以AP∥CB₁．
又因为BC₁?平面BDC₁，AP?平面BDC₁，
所以AP∥平面BDC₁．…（12分）

点评 本题主要考查面面垂直和线面平行的判定，要求熟练掌握相应的判定定理，考查学生的推理能力．