Question

11．已知某几何体的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为5π．

Answer 1

分析 根据三视图判断几何体的形状，根据它的几何性质得出AD⊥面BDC，DC=1，AD=1，BE⊥CD与E，DE=$\frac{1}{2}$，BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
利用三角形判断得出三角形BDC外接圆的半径r=1，构造长方体利用外接球的几何性质求解R即得出面积．

解答 解：根据三视图得出几何体为三棱锥，
AD⊥面BDC，DC=1，AD=1，BE⊥CD与E，DE=$\frac{1}{2}$，BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，

∴∠BDE=60°，BD=1，
∵在三角形BDC中，BD=DC=1，∠BDC=120°，
∴根据余弦定理得出：BC=$\sqrt{3}$，
∵利用正弦定理得出：$\frac{BC}{sin120°}$=2r
∴三角形BDC外接圆的半径r=1，直径为2，
∵三棱锥的外接球的半径R，d=AD=1，
利用球的几何性质得出：△BCD的外接圆的以DC为一边的内接矩形的边长$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
构造长方体棱长为：1，1，$\sqrt{3}$，可知长方体的外接球的直径2R=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}+3}$，
即R=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴它的外接球的表面积为4×π×（　$\frac{\sqrt{5}}{2}$　）²=5π
故答案为：5π．

点评 本题考查了空间几何体的外接球的问题，充分利用几何性质，把立体问题转化为平面问题求解，考查了三角的定理的运用综合性较强，属于中档题．