Question

19．O为△ABC内一点，$\overrightarrow{AO}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，则λ+2μ-1的取值范围为（　　）

• A． （-1，1）
• B． （-1，]
• C． [-1，1）
• D． [-1，1]

Answer 1

分析 取AC中点D、连结BD，并设AO所在直线交BD于E点，$\overrightarrow{AO}$=k$\overrightarrow{AE}$=λ$\overrightarrow{AB}$+2μ$\overrightarrow{AD}$，通过B、E、D三点共线可得$\frac{λ}{k}$+$\frac{2μ}{k}$=1即λ+2μ=k，显然k＞0，并且O趋向C时，k逐渐增大，当O与C重合时k=2，所以0＜k＜2，进而可得结论．

解答 解：如图，取AC中点D、连接BD，设AO所在直线和BD交于E，
并设$\overrightarrow{AO}$=k$\overrightarrow{AE}$，∴k$\overrightarrow{AE}$=λ$\overrightarrow{AB}$+2μ$\overrightarrow{AD}$，
∴$\overrightarrow{AE}$=$\frac{λ}{k}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2μ}{k}$$\overrightarrow{AD}$，
∵B、D、E三点共线；
∴$\frac{λ}{k}$+$\frac{2μ}{k}$=1，
∴λ+2μ=k，
∵O在△ABC内，
∴k＞0，而当O趋向于C点时，k不断增大，且k趋向2，
∴0＜k＜2；
∴λ+2μ-1的取值范围为（-1，1），
故选：A．

点评 本题考查共线向量基本定理，当A，B，C三点共线时，若$\overrightarrow{AO}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，则λ+μ=1，要弄清O点的位置和k的取值的关系，注意解题方法的积累，属于中档题．