Question

4．函数y=f（x）=$\sqrt{x}$，x∈（0，1），f（x）图象在点M（a，$\sqrt{a}$）处的切线为l，l分别与y轴、直线y=1交于P、Q两点，N（0，1）．
（1）用a表示△PQN的面积S；
（2）若△PQN的面积为r的点M恰有2个，求r及点M横坐标a的范围．

Answer 1

分析 （1）求出导数，求得切线的斜率，求得切线方程，再求P，Q两点的坐标，求得△PQN的面积；
（2）令$\sqrt{a}$=t（t∈（0，1）），即有S=g（t）=$\frac{1}{4}$（t³-4t²+4t），0＜t＜1，求得导数，和单调区间，求得最大值，即可得到r和a的范围．

解答 解：（1）由y′=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，切点M（a，$\sqrt{a}$），
在点M（a，$\sqrt{a}$）处的切线斜率为k=$\frac{1}{2\sqrt{a}}$，
切线方程l：y=$\frac{1}{2\sqrt{a}}$x+$\frac{1}{2}\sqrt{a}$，
即有P（0，$\frac{\sqrt{a}}{2}$），Q（2$\sqrt{a}$-a，1），
则S=$\frac{1}{2}$||NP|•|NQ|
=$\frac{1}{4}$（2-$\sqrt{a}$）（2$\sqrt{a}$-a），a∈（0，1）；
（2）由S=$\frac{1}{4}$（2-$\sqrt{a}$）（2$\sqrt{a}$-a），
令$\sqrt{a}$=t（t∈（0，1）），
即有S=g（t）=$\frac{1}{4}$（t³-4t²+4t），S′=$\frac{1}{4}$（3t-2）（t-2）
即有t∈（0，$\frac{2}{3}$）时，S′＞0，g（t）单调递增，t∈（$\frac{2}{3}$，1），S′＜0，g（t）单调递减，
则S在t=$\frac{2}{3}$时，取最大值S（$\frac{2}{3}$）=$\frac{8}{27}$，
又S（1）=$\frac{1}{4}$，S（0）=0，
当r∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{8}{27}$）时，△PQN的面积为r的点M恰有2个，
当$\frac{1}{4}$（t³-4t²+4t）=$\frac{1}{4}$时，t₁=1，t₂=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，t₃=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$＞1舍去．
则有点M横坐标a的范围是（$\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$，1）．

点评 本题主要考查了导数的几何意义的应用：求切线方程；利用导数判断函数的单调性，求解函数的最值，解决本题的关键是构造函数g（t），通过研究该函数的性质，属于中档题．