Question

13．设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且$\sqrt{3}$b=2csinB．
（1）求∠C的大小；
（2）若a=5，b=8，求$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$的值．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用正弦定理化简，根据sinB不为0求出sinC的值，由C为锐角求出C的度数即可；
（2）由（1）及余弦定理可求c的值，从而根据余弦定理可求cosB，由平面向量数量积的运算即可得解．

解答 解：（1）由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，及$\sqrt{3}$b=2csinB，
得：$\sqrt{3}$sinB=2sinCsinB，
∵sinB≠0，∴sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵C为锐角，
∴C=60°；
（2）∵由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC=25+64-2×5×8×cos60°=49，可得：c=7．
∴由余弦定理可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{25+49-64}{2×5×7}$=$\frac{1}{7}$，
∴$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=7×$5×\frac{1}{7}$=5．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，平面向量数量积的运算，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基本知识的考查．