Question

2．已知x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x-y≥0\\ 2x-y-1≤0\end{array}$，当目标函数z=$\sqrt{3}$ax+by（{a＞0，b＞0}）在该约束条件下取得最大值4时，a²+b²的最小值为（　　）

• A． 8
• B． 4
• C． $\frac{{8\sqrt{3}}}{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划求出最优解，结合点到直线的距离公式进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=$\sqrt{3}$ax+by得y=-$\frac{\sqrt{3}a}{b}$x+$\frac{z}{b}$，
∵a＞0，b＞0，
∴目标函数的斜率k=-$\frac{\sqrt{3}a}{b}$x＜0，
平移直线y=-$\frac{\sqrt{3}a}{b}$x+$\frac{z}{b}$，
由图象知当直线y=-$\frac{\sqrt{3}a}{b}$x+$\frac{z}{b}$经过点A时，直线的截距最大，此时z最大为4，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{2x-y-1=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，即A（1，1），
此时$\sqrt{3}$a+b=4，
a²+b²的几何意义为直线$\sqrt{3}$a+b=4上的点到原点的距离的平方，
原点到直线$\sqrt{3}$a+b=4的距离d=$\frac{|4|}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+1}}=\frac{4}{2}=2$，
则a²+b²的最小值为d²=4，
故选：B．

点评 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题．