Question

1．如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2$\sqrt{2}$，M是AD的中点，P，Q分别是BM与CD的中点，
（Ⅰ）求证：BC⊥平面ADC；
（Ⅱ）若DC=BC，求PQ与平面BCM所成角的正弦值；
（Ⅲ） 在（Ⅱ）的条件下，线段BD上是否存在点E，使得平面PQE⊥平面BCM？若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明AD⊥BC，利用BC⊥CD，可得BC⊥平面ADC；
（Ⅱ）以垂直于BD的直线为x轴，DB为y轴，DA为z轴，建立如图所示的坐标系，求出平面BCM的法向量，即可求PQ与平面BCM所成角的正弦值；
（Ⅲ）设E（0，m，0），求出平面PQE的法向量，利用向量的数量积公式，即可得出结论．

解答 （Ⅰ）证明：∵AD⊥平面BCD，BC?平面BCD，
∴AD⊥BC，
∵BC⊥CD，AD∩CD=D，
∴BC⊥平面ADC；
（Ⅱ）解：以垂直于BD的直线为x轴，DB为y轴，DA为z轴，建立如图所示的坐标系，则P（0，$\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$），Q（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），B（0，2$\sqrt{2}$，0），C（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，0），M（0，0，1）
设平面BCM的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则
∵$\overrightarrow{BC}$=（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{CM}$=（-2，-2，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}x-\sqrt{2}y=0}\\{-2x-2y+z=0}\end{array}\right.$，∴$\overrightarrow{n}$=（1，1，4），
∵$\overrightarrow{PQ}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
∴PQ与平面BCM所成角的正弦值为$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1+1+16}•\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}}$=$\frac{\sqrt{10}}{30}$；
（Ⅲ） 解：设E（0，m，0），设平面PQE的法向量为$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），则
∵$\overrightarrow{PQ}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{PE}$=（0，m-$\sqrt{2}$，-$\frac{1}{2}$）
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{2}}{2}a-\frac{\sqrt{2}}{2}b-\frac{1}{2}c=0}\\{（m-\sqrt{2}）b-\frac{1}{2}c=0}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{m}$=（$\frac{\sqrt{2}m-1}{m-\sqrt{2}}$，$\frac{1}{m-\sqrt{2}}$，2），
由$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=0可得$\frac{\sqrt{2}m-1}{m-\sqrt{2}}$+$\frac{1}{m-\sqrt{2}}$+8=0，
∴m=$\frac{32\sqrt{2}-8}{31}$，即E（0，$\frac{32\sqrt{2}-8}{31}$，0）．

点评 本题考查线面垂直，考查平面与平面垂直的判定，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，正确运用向量法是关键．