Question

11．已知函数f（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}-ax+1}$（其中e为自然对数的底数，e=2.71828…）．
（1）当a=0时，求函数y=f（x）的图象在点x=0处的切线方程；
（2）当a∈（0，2）时，试求函数f（x）的极值；
（3）若a∈[0，$\frac{1}{2}$]，则当x∈[0，a+1]时，函数y=f（x）的图象是否总在不等式y＞x所表示的平面区域内，请写出判断过程．

Answer 1

分析 （1）a=0时求出f（x），f′（x），从而求得f（0），f′（0），也就是求出了切点和切线的斜率，从而根据点斜式方程写出切线方程即可；
（2）求出f′（x），根据a的范围，判断导数符号，根据极值的概念便可得出f（x）的极值；
（3）根据（2）便可写出f（x）在[0，a+1]上的单调性，可画出f（x）及y=x的大致图象，根据图象可以看出要使f（x）的图象在y＞x表示的区域，只需f（a+1）＞a+1，即f（a+1）-a-1＞0恒成立．可设g（a）=$\frac{{e}^{a+1}}{a+2}-a-1$，通过求g′（a），g″（a），便可判断g（a）在[0，$\frac{1}{2}$]上单调递增，从而得出g（a）＞0成立，从而得出函数y=f（x）的图象总在不等式y＞x所表示的平面区域内．

解答 解：（1）a=0时，f（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}+1}$，$f′（x）=\frac{{e}^{x}（x-1）^{2}}{（{x}^{2}+1）^{2}}$；
∴f′（0）=1，又f（0）=1；
∴所求切线方程的斜率为1，切点为（0，1）；
∴f（x）在x=0处切线方程为y-1=x，即y=x+1；
（2）$f′（x）=\frac{{e}^{x}[{x}^{2}-（a+2）x+a+1]}{（{x}^{2}-ax+1）^{2}}$=$\frac{{e}^{x}（x-1）[x-（a+1）]}{（{x}^{2}-ax+1）^{2}}$；
∵a∈（0，2），∴x²-ax+1＞0恒成立，且1＜a+1；
∴x∈（-∞，1）时，f′（x）＞0，x∈（1，a+1）时，f′（x）＜0，x∈（a+1，+∞）时，f′（x）＞0；
∴x=1时，f（x）取得极大值$\frac{e}{2-a}$，x=a+1时，f（x）取得极小值$\frac{{e}^{a+1}}{a+2}$；
（3）由（2）知，x∈[0，1）时，f′（x）＞0；x∈（1，a+1），f′（x）＜0；
∴f（x）在[0，1]上单调递增，在（1，a+1]上单调递减，f（1）=$\frac{e}{2-a}$是f（x）在[0，a+1]上的最大值；
假设函数y=f（x）的图象总在不等式y＞x所表示的平面区域内，则f（x）及y=x的大致图象如下所示：
∴只需f（a+1）＞a+1即可；
即$\frac{{e}^{a+1}}{a+2}-a-1＞0$在a∈$[0，\frac{1}{2}]$上恒成立，设g（a）=$\frac{{e}^{a+1}}{a+2}-a-1$；
$g′（a）=\frac{{e}^{a+1}（a+1）}{（a+2）^{2}}-1$，g″（a）=$\frac{{e}^{a+1}（a+2）（{a}^{2}+2a+2）}{（a+2）^{4}}$＞0；
∴g′（a）在[0，$\frac{1}{2}$]上单调递增；
∴$g′（a）≥g′（0）=\frac{e}{4}＞0$；
∴g（a）在[0，$\frac{1}{2}$]上单调递增；
∴$g（a）≥g（0）=\frac{e}{2}-1＞0$；
即g（a）＞0成立；
即f（a+1）＞a+1成立；
∴函数y=f（x）的图象总在不等式y＞x所表示的平面区域内．

点评 考查根据导数求过曲线上一点切线方程的方法与过程，知道切线的斜率为函数在切点处的导数，直线的点斜式方程，函数极值的定义及求法．能找出y＞x表示的平面区域，以及数形结合解题的方法，根据函数导数符号判断函数单调性的方法，以及单调性定义的运用，注意正确求导．