Question

8．已知函数f（x）=xlnx．
（1）求函数f（x）上的点到直线x-y-5=0的最短距离；
（2）对于任意正实数x，不等式f（x）＞kx-$\frac{1}{2}$恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）考虑与与直线x-y-5=0平行且与曲线f（x）相切的切线的距离最短，由导数求出切线的斜率，解方程可得切点坐标，再由点到直线的距离公式，计算即可得到；
（2）对于任意正实数x，不等式f（x）＞kx-$\frac{1}{2}$恒成立，即为k＜lnx+$\frac{1}{2x}$，x＞0，令g（x）=lnx+$\frac{1}{2x}$，x＞0，求出导数，求得单调区间，得到极小值也为最小值，即可得到k的范围．

解答 解：（1）设与直线x-y-5=0平行且与曲线f（x）相切的切点为（m，mlnm），
则f（x）的导数为f′（x）=1+lnx，
则切线的斜率为k=1+lnm=1，
解得m=1，
即有切点为（1，0），
则切点到直线x-y-1=0的距离为d=$\frac{|1-0-5|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$．
故所求最短距离为2$\sqrt{2}$；
（2）对于任意正实数x，不等式f（x）＞kx-$\frac{1}{2}$恒成立，
即为k＜lnx+$\frac{1}{2x}$，x＞0，
令g（x）=lnx+$\frac{1}{2x}$，x＞0，则g′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2{x}^{2}}$=$\frac{2x-1}{2{x}^{2}}$，
在（0，$\frac{1}{2}$）上，g′（x）＜0，g（x）递减；在（$\frac{1}{2}$，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）递增．
即有g（x）在x=$\frac{1}{2}$处取得极小值，且为最小值1-ln2，
则k＜1-ln2．
故实数k的取值范围是（-∞，1-ln2）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，主要考查不等式恒成立问题，注意运用参数分离和构造函数的方法，考查运算能力，属于中档题．