Question

3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知（2c-a）cos B=bcos A．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若a-2c=1，且△ABC的面积为$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，求边a的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理化简已知得（2sinC-sinA）cosB=sinBcosA．由三角函数恒等变换化简可得cosB=$\frac{1}{2}$，结合B的范围即可求B．
（Ⅱ）由S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．可解得ac=10．又a-2c=1，即可得解．

解答 （本题满分15分）
解：（Ⅰ）因为（2c-a）cosB=bcosA，
由正弦定理得（2sinC-sinA）cosB=sinBcosA．…（2分）
即2sinCcosB=sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC．…（5分）
所以cosB=$\frac{1}{2}$，
即B=$\frac{π}{3}$．…（7分）
（Ⅱ）因为△ABC的面积为$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．…（9分）
所以ac=10．…（11分）
又因为a-2c=1，
所以a=5．…（15分）

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，属于基本知识的考查．