Question

1．已知函数f（x）=$\frac{cosx}{x}$（x＞0），g（x）=sinx-ax（x＞0）
（1）若f（x）≥g（x）在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．
（2）设点P是函数φ（x）与ω（x）的图象的交点，若直线l同时与函数φ（x），ω（x）的图象相切于P点，且函数φ（x），ω（x）的图象位于直线l的两侧，则称直线l为函数φ（x），ω（x）的分切线，探究：是否存在实数a，使得函数f（x）与g（x）存在分切线？若存在，求出实数a的值，并写出分切线方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由f（x）≥g（x）分离出常数a，再构造函数φ（x）=$\frac{xsinx-cosx}{{x}^{2}}$，求出导数判断出单调性求出函数的极大值、最大值，即求出a的范围；
（2）根据条件得：“f（x）≥g（x）”或“f（x）≤g（x）”在（0，+∞）上恒成立，根据极限思想进行排除，再根据a的范围求出函数图象的交点坐标，求出切线方程后利用导数，分别判断出函数f（x）、g（x）的图象与切线的位置关系．

解答 解：（1）∵f（x）≥g（x）在x∈（0，+∞）上恒成立，
∴$\frac{cosx}{x}$≥sinx-ax，得a≥$\frac{xsinx-cosx}{{x}^{2}}$，
设φ（x）=$\frac{xsinx-cosx}{{x}^{2}}$，
则φ′（x）=$\frac{（xsinx-cosx）′{x}^{2}-（xsinx-cosx）（{x}^{2}）′}{{x}^{4}}$
=$\frac{cosx（{x}^{2}+2）}{{x}^{3}}$，
∵x＞0，x²+2＞0，
∴φ（x）在区间（0，$\frac{π}{2}$）上单调递增，在区间（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$）上单调递减，
在区间（$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{3π}{2}$+2kπ），k∈Z上单调递减，
在区间（$\frac{3π}{2}$+2kπ，$\frac{5π}{2}$+2kπ），k∈Z上单调递增，
∴φ（x）的极大值为φ（$\frac{π}{2}$+2kπ）=$\frac{1}{\frac{π}{2}+2kπ}$，
故φ（x）的最大值为φ（$\frac{π}{2}$）=$\frac{2}{π}$，
所以a≥$\frac{2}{π}$；
（2）若函数f（x）与g（x）存在分切线，
则有“f（x）≥g（x）”或“f（x）≤g（x）”在（0，+∞）上恒成立，
当x→0时，f（x）=$\frac{cosx}{x}$→+∞，g（x）=sinx-ax→0，
∴?x₀∈（0，?）使得f（x）＞g（x），∴f（x）≤g（x）在（0，+∞）上不恒成立，
∴只能是f（x）≥g（x）在（0，+∞）上恒成立，
由（1）得，a$≥\frac{2}{π}$，∵函数f（x）与g（x）必须存在交点，∴a=$\frac{2}{π}$，
当a=$\frac{2}{π}$时，函数f（x）与g（x）的交点为：（$\frac{π}{2}$，0），
∴f′（$\frac{π}{2}$）=-$\frac{2}{π}$=g′（$\frac{π}{2}$），
则存在直线y=-$\frac{2}{π}$x+1在点（$\frac{π}{2}$，0）处同时与f（x）、g（x）相切，
故猜测函数f（x）与g（x）分切线为：y=-$\frac{2}{π}$x+1，
证明如下：①∵f（x）-（-$\frac{2}{π}$x+1）=$\frac{cosx+\frac{2}{π}{x}^{2}-x}{x}$，
设h（x）=cosx+$\frac{2}{π}$x²-x，则h′（x）=-sinx+$\frac{4}{π}$x-1，
设t（x）=-sinx+$\frac{4}{π}$x-1，则t′（x）=-cosx+$\frac{4}{π}$，
∴h′（x）在（0，+∞）上单调递增，∴h′（x）在（0，+∞）上有且只有一个零点，
∵h′（$\frac{π}{2}$）=0∴h（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上单调递减，在（$\frac{π}{2}$，+∞）上单调递增，
∴h（x）≥h（$\frac{π}{2}$）=0，∴f（x）-（-$\frac{2}{π}$x+1）≥0，
即f（x）≥（-$\frac{2}{π}$x+1）在（0，+∞）上恒成立，
∴函数f（x）的图象位于直线y=-$\frac{2}{π}$x+1的上方，
②∵g（x）-（-$\frac{2}{π}$x+1）=sinx-1在（0，+∞）上恒成立，
∴函数g（x）的图象位于直线y=-$\frac{2}{π}$x+1的下方，
由此可知，函数f（x）与g（x）存在分切线：y=-$\frac{2}{π}$x+1，
当a=$\frac{2}{π}$时，函数f（x）与g（x）存在分切线为：y=-$\frac{2}{π}$x+1．

点评 本题考查三角函数、导数及应用等基础知识，考查运算求解能力、等价转化能力，化归与转化、函数与方程、有限与无限等数学思想方法．