Question

11．双曲线r：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的左顶点为C，A为双曲线第一象限上的点，直线OA交双曲线于另一点B，双曲线左焦点为F，连结AF交BC延长线于D点．若$\overrightarrow{DB}$=3$\overrightarrow{DC}$，则双曲线r的离心率等于（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{2}$
• C． 3
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 设A（m，n），F（-c，0），则B（-m，-n），设D（x，y），由题意可得C（-a，0），运用向量的共线的坐标表示，可得m=3a+2x，再由两直线AF，BC求得交点的横坐标，化简整理，即可得到c=3a，由离心率公式计算即可得到．

解答 解：设A（m，n），F（-c，0），则B（-m，-n），
设D（x，y），由题意可得C（-a，0），
由$\overrightarrow{DB}$=3$\overrightarrow{DC}$，可得-m-x=3（-a-x），
即有m=3a+2x，
直线AF的方程为y=$\frac{n}{m+c}$（x+c），
直线BC的方程为y=$\frac{n}{m-a}$（x+a），
可得（m+c）（x+a）=（m-a）（x+c），
代入m=3a+2x，可得
（3a+2x+c）（x+a）=（2a+2x）（x+c），
化简即为（x+a）（c-3a）=0，
即有x=-a或c=3a，
若x=-a，则y=0，D与C重合，矛盾．
故只有c=3a，即有e=$\frac{c}{a}$=3．
故选C．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查直线方程和向量共线的坐标表示，属于中档题．