Question

6．设函数f（x）=x²-xlnx+2．
（1）求函数g（x）=f′（x）的极值；
（2）若存在区间[a，b）⊆[$\frac{1}{2}$，+∞），使[a，b]上的值域是[ka，kb]，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求f′（x），从而得到g（x）=2x-lnx-1，求g′（x），根据其符号即可得出g（x）的极值，并且是极小值为g（$\frac{1}{2}$）=ln2；
（2）由上面便知f′（x）＞0，从而得出f（x）在[a，b]上为增函数，从而便可得到$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=ka}\\{f（b）=kb}\end{array}\right.$，从而得到方程f（x）=kx有两个不同实数根，并且解出k=$x-lnx+\frac{2}{x}$，可设h（x）=x-lnx+$\frac{2}{x}$，根据导数符号即可得到h（x）在[$\frac{1}{2}$，+∞）上的最小值为h（2），从而得出k的取值范围为（h（2），h（$\frac{1}{2}$）]．

解答 解：（1）g（x）=f′（x）=2x-lnx-1，g′（x）=$\frac{2x-1}{x}$；
∴当x∈（0，$\frac{1}{2}$）时，g′（x）＜0；当x$∈（\frac{1}{2}，+∞）$时，g′（x）＞0；
∴$g（\frac{1}{2}）=ln2$是g（x）的极小值；
（2）由（1）知g（x）的极小值，也是最小值为ln2＞0，即f′（x）＞0；
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
∵存在区间[a，b]⊆[$\frac{1}{2}$，+∞），使f（x）在[a，b]上的值域为[ka，kb]；
∴f（a）=ka，f（b）=kb，$\frac{1}{2}≤a＜b$；
∴方程x²-xlnx+2=kx有两个不同实数根；
解出k=$x-lnx+\frac{2}{x}$，设h（x）=$x-lnx+\frac{2}{x}$，x$∈[\frac{1}{2}，+∞）$，则函数h（x）和函数y=k有两个不同交点；
$h′（x）=\frac{（x+1）（x-2）}{{x}^{2}}$；
∴$x∈[\frac{1}{2}，2）$时，h′（x）＜0，x∈（2，+∞）时，h′（x）＞0；
∴h（2）=3-ln2是h（x）的极小值，也是最小值，又h（$\frac{1}{2}$）=$\frac{9}{2}+ln2$；
∴k的取值范围为$（3-ln2，\frac{9}{2}+ln2]$．

点评 考查函数极值的概念，以及求极值的方法，根据函数导数符号判断函数单调性的方法，函数单调性定义的运用，方程的解和对应函数交点的关系，在求k范围时可结合图象．