Question

7．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-2x}，x≤-1}\\{2x+2，x＞-1}\end{array}\right.$，则f[f（-2）]=34，不等式f（x）≥2的解集为（-∞，-1]∪[0，+∞）．

Answer 1

分析 利用分段函数的解析式，求出f[f（-2）]的值；把要解的不等式转化为与之等价的2个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．

解答 解：根据函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-2x}，x≤-1}\\{2x+2，x＞-1}\end{array}\right.$，可得f（-2）=2⁴=16，
则f[f（-2）]=f（16）=2×16+2=34．
由不等式f（x）≥2，可得$\left\{\begin{array}{l}{x≤-1}\\{{2}^{-2x}≥2}\end{array}\right.$ ①或$\left\{\begin{array}{l}{x＞-1}\\{2x+2≥2}\end{array}\right.$②．
解①求得 x≤-1，解②求得 x≥0，故不等式的解集为（-∞，-1]∪[0，+∞），
故答案为：34；（-∞，-1]∪[0，+∞）．

点评 本题主要考查利用分段函数求函数的值，不等式的解法，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于基础题．