Question

19．设x，y是正实数，且x+y=3，则$\frac{{y}^{2}}{x+1}$+$\frac{{x}^{2}}{y+1}$的最小值是$\frac{9}{5}$．

Answer 1

分析 由已知可得$\frac{{y}^{2}}{x+1}$+$\frac{{x}^{2}}{y+1}$=$\frac{（3-x）^{2}}{x+1}+\frac{（3-y）^{2}}{y+1}$=$\frac{（x+1）^{2}-8（x+1）+16}{x+1}+\frac{（y+1）^{2}-8（y+1）+16}{y+1}$，分离之后结合基本不等式即可求解

解答 解：∵x+y=3，x＞0，y＞0
∴$\frac{{y}^{2}}{x+1}$+$\frac{{x}^{2}}{y+1}$=$\frac{（3-x）^{2}}{x+1}+\frac{（3-y）^{2}}{y+1}$=$\frac{{x}^{2}-6x+9}{x+1}+\frac{{y}^{2}-6y+9}{y+1}$
=$\frac{（x+1）^{2}-8（x+1）+16}{x+1}+\frac{（y+1）^{2}-8（y+1）+16}{y+1}$
=x+1$+\frac{16}{x+1}-8$+y+1+$\frac{16}{y+1}$-8
=-11+16（$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}$）
=-11+$\frac{16}{5}$（$\frac{x+1+（y+1）}{x+1}$$+\frac{x+1+（y+1）}{y+1}$
=-11$+\frac{16}{5}$（2$+\frac{y+1}{x+1}+\frac{x+1}{y+1}$）$≥-11+\frac{16}{5}（2+2\sqrt{\frac{y+1}{x+1}•\frac{x+1}{y+1}}$）=$\frac{9}{5}$
当且仅当$\frac{x+1}{y+1}=\frac{y+1}{x+1}$即x=y=$\frac{3}{2}$时取等号
故答案为：$\frac{9}{5}$

点评 本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用解题的关键是对已知式在进行化简，配凑基本不等式成立的条件