Question

11．已知实数a，b，c满足a²+b²+c²=1，则ab+bc+ca的取值范围是（　　）

• A． （-∞，1]
• B． [-1，1]
• C． [-$\frac{1}{2}$，1]
• D． [-$\frac{1}{4}$，1]

Answer 1

分析 由基本不等式易得ab+bc+ca≤1，再由a²+b²+c²+2（ab+bc+ca）=（a+b+c）²≥0可得ab+bc+ca≥-$\frac{1}{2}$，综合可得答案．

解答 解：∵a²+b²≥2ab，∴ab≤$\frac{1}{2}$（a²+b²），①
当且仅当a=b时取等号，
同理可得bc≤$\frac{1}{2}$（b²+c²），②，ac≤$\frac{1}{2}$（a²+c²），③
①+②+③可得ab+bc+ca≤$\frac{1}{2}$（2a²+2b²+2c²）
∵a²+b²+c²=1，∴$\frac{1}{2}$（2a²+2b²+2c²）=1，
∴ab+bc+ca≤1，当且仅当a=b=c时取等号，
又a²+b²+c²+2（ab+bc+ca）=（a+b+c）²≥0，
∴1+2（ab+bc+ca）≥0，
∴ab+bc+ca≥-$\frac{1}{2}$
故选：C．

点评 本题考查基本不等式求最值，属基础题．