Question

6．“斐波那契数列”是数学史上一个著名数列，在斐波那契数列{a_n}中，a₁=1，a₂=1，a_n+2=a_n+1+a_n（n∈N^*），则a₇=13；若a₂₀₁₇=m，则数列{a_n}的前2015项和是m-1（用m表示）．

Answer 1

分析 利用特征根法可求出“斐波那契数列”的通项，利用数列的规律可推导出其前n项和与第n+2项的关系，进而可得结论．

解答 解：显然“斐波那契数列”是一个线性递推数列．
线性递推数列的特征方程为：x²=x+1，
解得 x₁=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，
则a_n=C₁${{x}_{1}}^{n}$+C₂${{x}_{2}}^{n}$，
∵a₁=1，a₂=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}{C}_{1}+\frac{1-\sqrt{5}}{2}{C}_{2}}\\{1=（\frac{1+\sqrt{5}}{2}）^{2}{C}_{1}+（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{2}{C}_{2}}\end{array}\right.$，
∴C₁=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，C₂=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴a_n=$\frac{\sqrt{5}}{5}$[$（\frac{1+\sqrt{5}}{2}）^{n}$-$（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{n}$]，
∴a₇=$\frac{\sqrt{5}}{5}$[$（\frac{1+\sqrt{5}}{2}）^{7}$-$（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{7}$=13，
∵a_n+2=a_n+a_n+1
=a_n+a_n-1+a_n
=a_n+a_n-1+a_n-2+a_n-1
=a_n+a_n-1+a_n-2+a_n-3+a_n-2
=…
=a_n+a_n-1+a_n-2+a_n-3+…+a₂+a₁+1，
∴S₂₀₁₅=a₂₀₁₇-1=m-1．
故答案为：13，m-1．

点评 本题考查求数列的通项，求前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题．