Question

16．已知{a_n}是各项都为正数的数列，其前 n项和为 S_n，且S_n为a_n与$\frac{1}{a_n}$的等差中项．
（Ⅰ）求证：数列$\{S_n^{2}\}$为等差数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设${b_n}=\frac{{{{（-1）}^n}}}{a_n}$，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知条件化简出${S}_{n}^{2}-{S}_{n-1}^{2}=1$，即可说明$\{S_n^{2}\}$是首项为1，公差为1的等差数列．
（Ⅱ） 求出$S_n^{2}=1+n-1=n$，通过a_n=S_n-S_n-1（n≥2求出通项公式．
（Ⅲ）化简${b}_{n}=\frac{{（-1）}^{n}}{{a}_{n}}$，当n为奇数时，当n为偶数时，分别求出前n项和即可．

解答 （本小题满分12分）
（Ⅰ）由题意知$2{S_n}={a_n}+\frac{1}{a_n}$，即$2{S_n}{a_n}-{a_n}^2=1$，①----------------------（1分）
当n=1时，由①式可得S₁=1；----------------------（2分）
又n≥2时，有a_n=S_n-S_n-1，代入①式得$2{S_n}（{S_n}-{S_{n-1}}）-{（{S_n}-{S_{n-1}}）^2}=1$
整理得${S}_{n}^{2}-{S}_{n-1}^{2}=1$．----------------------（3分）
∴$\{S_n^{2}\}$是首项为1，公差为1的等差数列．----------------------（4分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）可得$S_n^{2}=1+n-1=n$，----------------------（5分）
∵{a_n}是各项都为正数，∴${S_n}=\sqrt{n}$，----------------------（6分）
∴${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$（n≥2），----------------------（7分）
又${a_1}=S_1^{\;}=1$，∴${a_n}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$．----------------------（8分）
（Ⅲ）${b_n}=\frac{{{{（-1）}^n}}}{a_n}=\frac{{{{（-1）}^n}}}{{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}}={（-1）^n}（{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}）$，----------------------（9分）
当n为奇数时，${T_n}=-1+（\sqrt{2}+1）-（\sqrt{3}+\sqrt{2}）+…+（\sqrt{n-1}+\sqrt{n-2}）-（\sqrt{n}+\sqrt{n-1}）=-\sqrt{n}$
当n为偶数时，${T_n}=-1+（\sqrt{2}+1）-（\sqrt{3}+\sqrt{2}）+…-（\sqrt{n-1}+\sqrt{n-2}）+（\sqrt{n}+\sqrt{n-1}）=\sqrt{n}$
∴{b_n}的前n项和${T_n}={（-1）^n}\sqrt{n}$．----------------------（12分）

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，考查分析问题解决问题的能力．