Question

4．已知三次函数f（x）=x³+ax²-6x+b，a，b∈R，若函数f（x）的图象在x=1处的切线方程为12x+2y-1=0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若存在x∈（0，+∞），使得3lnx≥f′（x）+|2m-1|成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的，利用导数的几何意义求出a，求出切点坐标，代入函数的解析式，求出b然后求出函数的解析式．
（2）化简g（x）=3lnx-3x²+3x+6，求出函数的导数求出极值点，判断函数的单调性，求出函数的最值，然后转化不等式求出m的范围．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+2ax-6，直线12x+2y-1=0的斜率为-6，…（1分）
由导数的几何意义，f′（1）=-6，∴$a=-\frac{3}{2}$，…（2分）
∵当切点坐标为$（1，\;-\frac{11}{2}）$，∴$f（1）=-\frac{11}{2}$，∴b=1，…（3分）
∴f（x）=${x^3}-\frac{3}{2}{x^2}-6x+1$；…（4分）
（2）令g（x）=3lnx-f′（x），则g（x）=3lnx-3x²+3x+6，…（5分）
∴$g'（x）=\frac{3}{x}-6x+3=\frac{{-6{x^2}+3x+3}}{x}=-\frac{{6（x-1）（x+\frac{1}{2}）}}{x}$，…（7分）
令g′（x）=0，则x=1或$x=-\frac{1}{2}$，
在x=1附近，当x＞1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；
当x＜1时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；
∵x＞0∴x=1时，函数g（x）在（0，+∞）内取得最大值g（1）=6；…（10分）
∵存在x∈（0，+∞），使得3lnx≥f′（x）+|2m-1|成立，
即使得3lnx-f′（x）≥|2m-1|成立，
∴|2m-1|≤6，…（12分）
∴$-\frac{5}{2}≤m≤\frac{7}{2}$．…（14分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，切线方程以及函数的单调性，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．