Question

19．在△ABC中，AC=3，$BC=2，\;∠C=\frac{π}{3}$，D是AB边上的一点，且$\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{DB}$，则$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{AB}$=$-\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 首先利用已知求出AB以及A的余弦值，然后进行向量的运算．

解答 解：由已知，利用余弦定理得到AB²=AC²+BC²-2AC×BC×cos$\frac{π}{3}$=3+4-6=7，
由正弦定理得到$\frac{AB}{sin\frac{π}{3}}=\frac{BC}{sinA}$，所以$\frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{sinA}$，所以sinA=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，所以cosA=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
所以$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{AB}$=（$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}$）$•\overrightarrow{AB}$=（$\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$）$•\overrightarrow{AB}$=$\frac{2}{3}{\overrightarrow{AB}}^{2}-\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$=$\frac{2}{3}×7-3×\sqrt{7}×\frac{2\sqrt{7}}{7}$=$-\frac{4}{3}$；
故答案为：$-\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了向量的三角形法则以及向量的数量积的运算，用到了余弦定理和正弦定理．