Question

8．已知函数f（x）=$\frac{x}{lnx}$+ax，x＞1．
（Ⅰ）若f（x）在（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若a=2，求函数f（x）的极小值；
（Ⅲ）若方程（2x-m）lnx+x=0在（1，e]上有两个不等实根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过f′（x）≤0在x∈（1，+∞）上恒成立，得到a的不等式，利用二次函数的求出最小值，得到a的范围．
（Ⅱ）利用a=2，化简函数的解析式，求出函数的导数，然后求解函数的极值．
（Ⅲ）化简方程（2x-m）lnx+x=0，得$\frac{x}{lnx}+2x=m$，利用函数f（x）与函数y=m在（1，e]上有两个不同的交点，结合由（Ⅱ）可知，f（x）的单调性，推出实数m的取值范围．

解答 （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）函数f（x）=$\frac{x}{lnx}$+ax，x＞1．
$f'（x）=\frac{lnx-1}{{{{ln}^2}x}}+a$，由题意可得f′（x）≤0在x∈（1，+∞）上恒成立；---（1分）
∴$a≤\frac{1}{{{{ln}^2}x}}-\frac{1}{lnx}={（\frac{1}{lnx}-\frac{1}{2}）^2}-\frac{1}{4}$，----------------------（2分）
∵x∈（1，+∞），∴lnx∈（0，+∞），----------------------（3分）
∴$\frac{1}{lnx}-\frac{1}{2}=0$时函数t=${（\frac{1}{lnx}-\frac{1}{2}）^2}-\frac{1}{4}$的最小值为$-\frac{1}{4}$，
∴$a≤-\frac{1}{4}$----------------------（4分）
（Ⅱ）  当a=2时，$f（x）=\frac{x}{lnx}+2x$$f'（x）=\frac{{lnx-1+2{{ln}^2}x}}{{{{ln}^2}x}}$------------------（5分）
令f′（x）=0得2ln²x+lnx-1=0，
解得$lnx=\frac{1}{2}$或lnx=-1（舍），即$x={e^{\frac{1}{2}}}$----------------------（7分）
当$1＜x＜{e^{\frac{1}{2}}}$时，f'（x）＜0，当$x＞{e^{\frac{1}{2}}}$时，f′（x）＞0
∴f（x）的极小值为$f（{e^{\frac{1}{2}}}）=\frac{{{e^{\frac{1}{2}}}}}{{\frac{1}{2}}}+2{e^{\frac{1}{2}}}=4{e^{\frac{1}{2}}}$----------------------（8分）
（Ⅲ）将方程（2x-m）lnx+x=0两边同除lnx得$（2x-m）+\frac{x}{lnx}=0$
整理得$\frac{x}{lnx}+2x=m$----------------------（9分）
即函数f（x）与函数y=m在（1，e]上有两个不同的交点；----------------------（10分）
由（Ⅱ）可知，f（x）在$（1，{e^{\frac{1}{2}}}）$上单调递减，在$（{e^{\frac{1}{2}}}，e]$上单调递增$f（{e^{\frac{1}{2}}}）=4{e^{\frac{1}{2}}}，f（e）=3e$，当x→1时，$\frac{x}{lnx}→+∞$，∴$4{e^{\frac{1}{2}}}＜m≤3e$，
实数m的取值范围为$（4{e^{\frac{1}{2}}}，3e]$----------------------（13分）

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数 极值的求法，函数的零点的应用，考查分析问题解决问题的能力．