Question

18．已知$\overrightarrow{m}$=（2sinx，sinx-cosx），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$cosx，sinx+cosx），记函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$．
（1）求函数f（x）取最大值时x的取值集合；
（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=2，c=$\sqrt{3}$，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），由$sin（2x-\frac{π}{6}）=1$，解得函数f（x）取最大值时x的取值集合．
（2）由f（C）=2，及（1）得$sin（2C-\frac{π}{6}）=1$，又0＜C＜π，可解得C的值，由余弦定理可得：3≥ab，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）由题意，得$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n=\sqrt{3}sin2x-cos2x=2sin（2x-\frac{π}{6}）$，
当f（x）取最大值时，即$sin（2x-\frac{π}{6}）=1$，此时$2x-\frac{π}{6}=2kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$，
所以x的取值集合为$\left\{{\left.x\right|x=kπ+\frac{π}{3}，k∈Z}\right\}$．…（7分）
（2）因f（C）=2，由（1）得$sin（2C-\frac{π}{6}）=1$，又0＜C＜π，即$-\frac{π}{6}＜2C-\frac{π}{6}＜\frac{11π}{6}$，
所以$2C-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，解得$C=\frac{π}{3}$，在△ABC中，由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，
得3=a²+b²-ab≥ab，所以${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC≤\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$，所以△ABC面积的最大值为$\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$．…（14分）

点评 本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，平面向量数量积的运算，属于基本知识的考查．