Question

3．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形，对角线AC，BD交于点O，OA=4，OB=3，OP=4，OP⊥底面ABCD，设点M满足$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{MC}$（λ＞0）．
（1）当λ=$\frac{1}{2}$时，求直线PA与平面BDM所成角的正弦值；
（2）若二面角M-AB-C的大小为$\frac{π}{4}$，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）以O为坐标原点，建立坐标系O-ABP，求出相关点的坐标，平面BDM的法向量，利用空间向量数量积求解直线PA与平面BDM所成角的正弦值．
（2）求出平面ABC的一个法向量，设M（a，0，b），代入$\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{MC}$，求出平面ABM的法向量，通过向量的数量积，得到方程即可求出λ的值．

解答 解：（1）以O为坐标原点，建立坐标系O-ABP，则A（4，0，0），B（0，3，0），C（-4，0，0），D（0，-3，0），P（0，0，4），所以$\overrightarrow{PA}=（4，0，-4）$，$\overrightarrow{DB}=（0，6，0）$，$\overrightarrow{AB}=（-4，3，0）$．当$λ=\frac{1}{2}$时，得$M（-\frac{4}{3}，0，\frac{8}{3}）$，所以$\overrightarrow{MB}=（\frac{4}{3}，3，-\frac{8}{3}）$，设平面BDM的法向量$\overrightarrow n=（x，y，z）$，则$\left\{\begin{array}{l}6y=0\\ \frac{4}{3}x+3y-\frac{8}{3}z=0\end{array}\right.$，得y=0，
令x=2，则z=1，所以平面BDM的一个法向量$\overrightarrow n=（2，0，1）$，
所以$cos\left?{\overrightarrow{PA}}\right.，\left.{\overrightarrow n}\right＞=\frac{4}{{4\sqrt{2}•\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，即直线PA与平面BDM所成角的正弦值$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．…（5分）
（2）易知平面ABC的一个法向量$\overrightarrow{n_1}=（0，0，1）$．
设M（a，0，b），代入$\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{MC}$，得（a，0，b-4）=λ（-4-a，0，-b），
解得$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{-4λ}{1+λ}\\ b=\frac{4}{1+λ}\end{array}\right.$，即$M（\frac{-4λ}{1+λ}，0，\frac{4}{1+λ}）$，所以$\overrightarrow{MB}=（\frac{4λ}{1+λ}，3，\frac{-4}{1+λ}）$，
设平面ABM的法向量$\overrightarrow{n_2}=（x，y，z）$，则$\left\{\begin{array}{l}-4x+3y=0\\ \frac{4λ}{1+λ}x+3y-\frac{4}{1+λ}z=0\end{array}\right.$，
消去y，得（2λ+1）x=z，令x=1，则z=2λ+1，$y=\frac{4}{3}$，
所以平面ABM的一个法向量$\overrightarrow{n_2}=（1，\frac{4}{3}，2λ+1）$，
所以$\frac{{\sqrt{2}}}{2}=|{\frac{2λ+1}{{\sqrt{1+\frac{16}{9}+{{（2λ+1）}^2}}}}}|$，解得$λ=\frac{1}{3}$或$-\frac{4}{3}$，因为λ＞0，所以$λ=\frac{1}{3}$．…（10分）

点评 本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面所成角的求法与应用，考查空间想象能力以及计算能力．