Question

13．如图，在四面体P-ABC中，底面ABC是边长为1的正三角形，AB⊥BP，点P在底面ABC上的射影为H，BH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，二面角C-AB-P的正切值为$\sqrt{5}$．
（Ⅰ）求证：PA⊥BC；
（Ⅱ）求异面直线PC与AB所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在平面ABC内，作HD∥AB，根据已知条件可说明HB，HD，HP三直线两两垂直，从而可分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，根据条件可求出图中各点的坐标，然后求$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{BC}=0$即可；
（Ⅱ）求向量$\overrightarrow{PC}，\overrightarrow{AB}$的坐标，可设异面直线PC与AB所成角为θ，从而根据cosθ=$|cos＜\overrightarrow{PC}，\overrightarrow{AB}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{PC}||\overrightarrow{AB}|}$即可求得异面直线PC与AB所成角的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）证明：过H作HD∥AB，PH⊥底面ABC，AB?平面ABC；
∴PH⊥AB，即AB⊥PH；
又AB⊥BP，BP∩PH=P；
∴AB⊥平面PBH；
∴AB⊥BH，∴HD⊥BH；
∴HB，HD，HP三直线两两垂直，分别以这三条直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则根据条件：

H（0，0，0），A（$\frac{\sqrt{3}}{3}，-1，0$），B（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0，0），C（$-\frac{\sqrt{3}}{6}，-\frac{1}{2}，0$）；
∵AB⊥BH，AB⊥BP；
∴∠PBH为二面角C-AB-P的平面角，∴tan∠PBH=$\frac{PH}{BH}=\frac{PH}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{5}$；
∴PH=$\frac{\sqrt{15}}{3}$，∴$P（0，0，\frac{\sqrt{15}}{3}）$；
∴$\overrightarrow{PA}$=（$\frac{\sqrt{3}}{3}，-1，-\frac{\sqrt{15}}{3}$），$\overrightarrow{BC}$=（$-\frac{\sqrt{3}}{2}$，$-\frac{1}{2}，0$）；
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{BC}=0$；
∴$\overrightarrow{PA}⊥\overrightarrow{BC}$；
∴PA⊥BC；
（Ⅱ）$\overrightarrow{PC}=（-\frac{\sqrt{3}}{6}，-\frac{1}{2}，-\frac{\sqrt{15}}{3}）$，$\overrightarrow{AB}=（0，1，0）$；
设异面直线PC与AB所成角为θ，则：
cosθ=$|cos＜\overrightarrow{PC}，\overrightarrow{AB}＞|$=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$；
异面直线PC与AB所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 考查线面垂直的性质，线面垂直的判定定理，通过建立空间直角坐标系，利用空间向量证明异面直线垂直、异面直线所成角的方法，二面角的平面角的定义，等边三角形的中线也是高线，以及两非零向量垂直的充要条件，向量夹角余弦的坐标公式．