Question

18．若定义在R上的可导函数f（x）的导数为f′（x），在R上满足f′（x）＜f（x），且y=f（x+3）为奇函数，f（6）=-3，则不等式f（x）＜3e^x的解集为（0，+∞）．

Answer 1

分析 首先构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求得不等式f（x）＜3e^x的解集．

解答 解：∵y=f（x+3）为奇函数，
∴f（x+3）的图象关于原点中心对称，
∴y=f（x）的图象关于（3，0）中心对称，
∵f（6）=-3，∴f（0）=3，
设g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$（x∈R），
则g′（x）=$\frac{{f}^{′}（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
又∵f′（x）＜f（x），
∴f′（x）-f（x）＜0，
∴g′（x）＜0．
∴y=g（x）单调递减．
由f（x）＜3e^x，得$\frac{f（x）}{{e}^{x}}＜3$．
即g（x）＜3．
又∵g（0）=$\frac{f（0）}{{e}^{0}}=3$，
∴g（x）＜g（0）
∴x＞0．
故答案为：（0，+∞）．

点评 本题首先须结合已知条件构造函数，然后考察用导数判断函数的单调性，再由函数的单调性和函数值的大小关系，判断自变量的大小关系，属难度较大题目．